Opção de preços usando método de diferenças finitas - Matlab Durante o curso Quantitative amp Financeiro Computacional dentro do departamento de matemática da UCL. Foi-nos pedido que fizesse o preço de 4 tipos de opção, opção de compra europeia, opção de venda europeia e opções binárias utilizando o método das diferenças finitas. Este post descreve a equação de Black-Scholes e suas condições de contorno, o método de diferenças finitas e finalmente o código e a ordem de precisão. Para o código matlab neste post eu usei o pincel java, portanto, os comentários precisarão ser alterados de // para. Eu sei que você iria perguntar, por que eu não usei um pincel Matlab em primeiro lugar, bem, eu estou usando o SyntaxHighlighter e olhando para este comentário Nota do autor: a longa lista de funções (1300) pode fazer o navegador não responder quando você usa este escova. me deixe de fora. I Black-Scholes equação Onde Smbox, sigmaVolatility, rmbox, Vmbox Esta é uma equação parabólica linear equação diferencial parcial. Em termos de gregos. A equação de Black-Scholes pode ser escrita da seguinte forma: Theta - frac sigma2 S2 Gamma - r S Delta r V Conidões finais de limites de ampères A condição final é as condições de Limite de Pagamento em S0 e na Sinfty European Call Opção Black-Scholes fechada da solução A forma fechada Para a equação de Black-Scholes para uma opção de Call Europeu é C (S, T) Esquadrão N (d1) - Equad e quad N (d2) e N é a função de distribuição cumulativa de um padrão normal. Usando a equação de paridade Call-Put CALL-PUT S - e N (-d2) também podemos ritear a fórmula de put P (S, T) - Squad N (-d1) Equad e quad N (-d2) , Também chamado de dinheiro ou nada, os valores Call e Put: Método de Diferença Finita Método de Diferença Finita é um método numérico para aproximar as soluções para equações diferenciais usando a equação de diferenças finitas para aproximar a derivada. A grelha de diferenças finitas tem geralmente o mesmo passo de tempo, o tempo entre nós é igual a S passos. O passo do tempo é delta t eo passo do ativo é delta S. Assim, a grade é composta por pontos no valor dos ativos Sidelta S e tempos t T-k delta t onde 0leq ileq l e 0leq kleq K. I delta S é a nossa aproximação do infinito, neste exercício vamos usar Sinfty 2 cdot Strike Assim, podemos escrever o valor da opção em cada um desses pontos da grade como VV (idelta S, T-kdelta t) De modo que o superíndice é o tempo Variável eo subescrito é a variável de ativo. Agora vamos usar a notação de Black-Scholes Grego para aproximar theta, gama e delta. Aproximando Theta Segue que podemos aproximar a derivada de tempo de nossa grade de valores usando a diferença de tempo para trás: frac (S, t) (Delta t) Esta é a aproximação das opções theta. Ele usa o valor da opção em dois pontos da grade V (k, i) e V (k1, i). Esta aproximação é uma ordem exata em delta t e veremos mais tarde que mais tarde nos exemplos. Aproximando Delta A mesma idéia pode ser usada para aproximar a primeira ordem em derivado S, o delta. A partir de uma expansão da série de Taylor do valor da opção sobre o ponto Sdelta S, t temos V (Sdelta S, t) V (S, t) delta S frac (S, t) Delta S3) Similarmente, V (S-delta S, t) V (S, t) - delta S fração (S, t) fração delta S2 fração (S, t) - O (delta S3) Subtraindo do outro, (S, t) frac - VO (delta S2) Gama Aproximada A gama de uma opção é a segunda derivada da opção em relação ao subjacente, A aproximação natural é frac aproximadamente frac-2V VO Delta S2) Esta aproximação é também uma segunda ordem precisa em delta S como a aproximação Delta e irá mostrar isso também mais tarde. O Método de Diferença Finita Explícita Cálculo dos Griegos usando a diferença para trás Agora nós conectamos nossa aproximação de Greeks anterior na equação de Black-Scholes frac - V frac sigma2 (i2delta S2) fração -2V V r idelta S frac - V - r V 0 Rearrangeando V alfa V beta V gama V com fração alfa fração fracta delta t - delta t delta t - delta t delta - Que não é válida nos limites. Portanto, precisamos definir os limites dependendo do tipo de opção que estamos avaliando. Final amp Condições de contorno Para uma Opção de Chamada Europeia em t T (expiração) i I Pago V (S, t) máx (SE, 0) Assim Vmax (i delta SE, 0) onde 0leq i leq l A probabilidade de S queda V é a condição de limite superior V (alfa-gamma) V (beta 2gamma) V) Finalmente para os critérios de estabilidade vamos escolher delta t leq frac. III Código e Resultados Aqui está a implementação matlab do método de diferenças finitas. Usamos os mesmos parâmetros fixos, isto é, volatilidade 0,2, Taxa de Juros 0,05, Preço de Exercício 100, preço atual é o valor descontado do preço de exercício S100 e /. Para cada tipo de opção, variamos o intervalo de tempo e o preço do ativo para mostrar que o método é de primeira ordem e de segunda ordem precisos em delta t e delta S por sua vez. Nós também defnie o alfa, beta e gama externa para clareza. O código da função alfa O código da função beta O código da função Gamma Também definimos os resultados para a solução de formulário fechado para uma opção de chamada e de colocação europeia e, da mesma forma, para as opções binárias. Solução de formulário fechado para a opção de opção europeia Solução de forma fechada para a opção de venda europeia Solução de forma fechada para uma opção de compra europeia (Cash-or-nothing) Solução de forma fechada para uma opção de venda europeia (Cash-or-nothing) Aqui definimos o valor da opção Para uma chamada europeia e opção de venda com condições de pagamento respectivas máximas (SE, 0) e loucas (ES, 0). Notamos que o código é semelhante apenas a função de recompensa pode ser revertida dependendo do tipo de opção, ou seja, chamada ou um put. Opção Valor Função Função de valor da opção binária Na figura abaixo apresentamos os valores das opções de chamada pelo método explícito de diferenças finitas. No que se segue, mostraremos que os métodos de diferença finita são de primeira ordem e de segunda ordem precisos em delta t e delta S, por sua vez, traçando o Erro contra delta t e delta S2 em ambos os gráficos esperamos ter um gráfico linear. Valores de opção de chamada europeia Erro vs. Delta t Valores da opção de chamada europeia Erro vs. Delta S2 Europeu Valores opção de opção Erro Vs. Delta t European Put Opção valores erro Vs. Delta S2 Traçando o erro em porcentagem em relação ao delta t e delta S2 para a opção de chamada e put européia para ambas as funções de retorno contínuo e binário, vemos claramente que o erro é linear em delta t e delta S2. Quanto menores os passos estão em delta t e delta S2, o preciso é o método de diferença finita, mas isso vem com um tempo de computação dispendioso. Paul Wilmott Introduz Quantitative Finance, Second Edition, de Paul P. Wilmott
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